倍数の判定方法

数字を見て、何の数字の倍数かすぐに見分ける方法がいくつかあります。

2の倍数の判定方法

1の位が偶数。
これは簡単にわかります。2で割り切れるものを偶数と言います。

全ての位の数字を足して、3の倍数になる数字。
例えば、”321”という数字は、100の位の“3“と10の位の“2“と1の位の“1“を足します。

3 + 2 + 1 = 6
“6“は3の倍数なので、“321“は3の倍数です。

なぜそう言えるのか？

3桁の数字を分解すると、
“100 x ある数字“ + “10 x ある数字“ + “1 x ある数字“となります。

“321“は“100 x 3 + 10 x 2 + 1 x 1”です。

これを数学の式で書き直すと、
“100a + 10b + c”です。

次に、”100a”と“10b“からそれぞれ“1a”と“1b“を取り出します。
100a + 10b + c = 99a + a + 9b + b + c
（100を「99+1」、10を「9＋1」としても答えは変わらない）

順番を入れ替えます。（足し算だけの計算では、計算の順序を変えても答えは変わらない）
99a + a + 9b + b + c = 99a + 9b + a + b + c

aと繋がっている99もbと繋がっている9も、どちらも3の倍数です。
ここを括ると、次のような計算式となります。

99a + 9b + a + b + c = 3(33a + 3b) + (a + b + c)
3(33a + 3b)は必ず3の倍数になります。
カッコの中の計算をして残った数に3をかけるのですから。

残った”a + b + c”の部分が3の倍数になれば、この式の答えは3の倍数と言えます。
aは100の位の数字でした。
bは10の位の数字でした。
cは1の位の数字でした。

以上は3桁での証明でしたが、桁数が変わっても同じです。
これでなぜ、“全ての位の数字を足して、3の倍数になる数字は3の倍数“が成立することがわかりました。

下2桁の数が00か4の倍数。
4の倍数を並べると、4、8、12、16、20となります。

20の次はまた1桁目は4に戻ります。
4の倍数はこれの繰り返しですので、下2桁が4の倍数なら4の倍数と言えます。

4の倍数は20ごとに一周しますが、100は下2桁が00で終わります。
下2桁が00の数字も4の倍数です。

1の位が0か5。
5の倍数では、1の位は0と5がひたすら交互に現れます。
これは、2の倍数と同じぐらいよくわかる法則ですね！

全ての位を足して9の倍数になる。
これは、“3の倍数判定方法“と原理は同じです。

括る数字が“3“から“9“に変わるだけです。

100a + 10b + c
= 99a + a + 9b + b + c
= 99a + 9b + a + b + c
= 9(11a + b) + (a + b + c)

9(11a + b)は必ず9の倍数です（9をかけるということは、必ず9の倍数になる）。
“a + b + c”(100の位の数字と10の位の数字と1の位の数字を足した答え）が9の倍数なら、その数字は9の倍数です。